摘要：在多项式的学习中，经常会遇到“一题多解”问题。从不同的角度切入，用不同的思维方法来解答。对“一题多解”问题进行研究，有利于培养学生分析问题和解决问题的能力，对空间想象能力和逻辑推理能力也有一定的帮助。本文就以高等代数中多项式这个内容中的典型问题为例，来探讨一下高等代数中的“一题多解”问题。关键词：多项式 一题多解 高等数学课程是大学中的一门基础课。初学的同学往往不知从何入手才能学好这门课。教师在实际教学中如何提高学生学习的主动性和积极性呢？“一题多解”问题的研究无疑是很好地方法。下面就以一道多项式中的典型问题举例，来分析、探讨“一题多解”问题。例题：判断（k是任意一个整数）在有理数域上是否可约。分析1：这是一个判定整系数多项式在有理数域上是否可约的问题。我们很容易想到艾森斯坦因判别法。但这个多项式还不符合要求，需要对未知量进行变形。【注】Eisenstein判别法：设是一个整系数多项式。 如果有一个素数p，使得 （Ⅰ）p不能整除 ，（Ⅱ）p 整除 ， （Ⅲ）不能整除 ， 那么在有理数域上不可约。解法1：用代入原多项式，得到一个含y的多项式对于此式可取p=2，则此p能满足判别法的三个条件，按艾森斯坦因判别法，是不可约的。从而也不可约。〔否则若，则用代入上面这个等式仍能成立即，故可约。这是与上述检验结果矛盾的，这就证明了是不可约的〕分析2：若在有理数域上可约，则其典型分解式中的不可约因式只能是一次式或二次式。（三次因式与一次因式相伴而生，故只要考虑一次式就行了），若能证明它既无一次因式（可利用因式定理及试根法），又无二次因式（可用反证法），则它在有理数域上必不可约。解法2：（逐次检验因式法） 令（k为整数），看它是否有一次因式。有因式定理，只需看它是否有有理根即可。这只需要用来检验就行了。由于，可见它没有有理根，因此它不能有一次因式。进一步看它是否有二次因式。由于是整系数多项式，若它是可约的，则必可化为两个二次整系数多项式的乘积，即 将左端代入及将右端展开可得：比较对应项系数得 由前两个等式有，显然a不可能是整数。因此，也不能有二次因式。综上二点可见在有理数域上是不可约的。以上的两种解法简洁明了，一气呵成。解法1是现成的检验法，但要存在符合条件的素数p时方能判定它是不可约的，若是对某一多项式找不到这样的素数p，那么在有理数域上是否可约不一定。而有些不可约多项式还需进行适当变形才能找到符合条件的素数p，所以使用这种检验法是要有一定技巧的。解法2采用逐次检验法，先检验它是否有一次因式，若有则是可约的。如果没有一次因式就检验它是否有二次因式等等：如果的次数较高，这种检验就麻烦了，需要一定技巧。利用因式分解法也可以检验多项式是否可约。想要做好一道题，还需要平时多学多看、多思考、多尝试、多练习，掌握高等代数的基本理论，注意对知识的积累和运用，在学习中积累，在积累中提高，学以致用。

　　参考文献：

　　[1] 魏献祝，《高等代数一题多解二百例》，福建人民出版社，1982

　　[2] 毛纲源，《线性代数解题方法技巧归纳》，华中理工大学出版社，2000

　　[3] 李忠傧，《高等代数百题多解法》，广西教育出版社，1989

　　[4]北大数学系，《高等代数》，高等教育出版社，1988

　　[5]毛成立，《线性代数》，兵器工业出版社，1996[6]钱芳华《高等代数方法选讲》，广西师范大学出版社，1990作者简介：刘淑媛，女，汉族，吉林省长春市人，吉林工商学院高教研究所，副教授。吉林省高等教育教学研究课题（GJ201209）；吉林工商学院教育教学研究项目（201114）